已知数列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1．求数列{an}的通项公式an；设：2bn=1an+1求数列{bnbn+1}的前n项

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=an2an+1（n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设：2bn=1an+1 求数列{b_nb_n+1}的前n项的和T_n；
（3）已知P=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b2_n-1），求证：Pn＞2n+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+1=an2an+1得：1an+1-1an=2且1a1=1，
所以知：数列{1an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以 1an=1+2(n-1)=2n-1，得an=12n-1．
（2）由2bn=1an+1得：2bn=2n-1+1=2n，∴bn=1n，
从而：bnbn+1=1n(n+1)，
则 T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=11×2+12×3+…+1n(n+1)
=（1-12）+（12-13）+（13-14）+…+（1n-1n+1）
=1-1n+1=nn+1．
（3）已知P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）=21×43×65×…×2n2n-1，
∵（4n）²＜（4n）²-1，∴2n+12n＜2n2n-1
设：Tn=32×54×…×2n+12n，则P_n＞T_n
从而：Pn2＞PnTn=21×32×43×…×2n2n-1×2n+12n=2n+1，
故：Pn＞2n+1．

解析

an2an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。