数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n．求数列{an}的通项公式；令cn=(3n+1)•an2，求数列{cn}的

题文

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=(3n+1)•an2（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，知a₁=2满足该式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n…（5分）
（Ⅱ）c_n=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）…（7分）
令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
则3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②…（9分）
①-②得，-2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=3(1-3n)1-3-n×3ⁿ⁺¹
∴H_n=(2n-1)×3n+1+34，…（11分）
∴数列{c_n}的前n项和T_n=(2n-1)×3n+1+34+n(n+1)2…（12分）

解析

3(1-3n)1-3

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。