已知等差数列{an}中，a1=1，前10项和S10=100；求数列{an}的通项公式；设log2bn=an，证明{bn}为等比数列，并求{bn}的前

题文

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，前10项和S₁₀=100；
（1）求数列{a_n}的通项公式； 
（2）设log₂b_n=a_n，证明{b_n}为等比数列，并求{b_n}的前四项之和．
（3）设c_n=b_n+a_n，求{c_n}的前五项之和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₁₀=100，得10x1+10×92d=100，解得d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N⁺）；
（2）∵a_n=log₂b_n⇒b_n=2an=2^2n-1．
∴b₁=2，bn+1bn=22(n+1)-122n-1=4，
∴{b_n}是以2为首项，4为公比的等比数列．
b_n=2x4^n-1，b₁+b₂+b₃+b₄=2+8+32+128=170，
（3）c_n=b_n+a_n=2n-1+2x4^n-1，
∴{c_n}的前五项之和为1+3+5+7+9+170+2x256=707．

解析

10×92

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}中，a1=1，前10.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。