设数列{an}满足an≠0，a1=1，an=anan-1+an-1，数列{an}的前n项和为Sn．求数列{an}的通项公式；求

题文

设数列{a_n}满足a_n≠0，a₁=1，a_n=（1-2n）a_na_n-1+a_n-1（n≥2），数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，nn+1＜Sn＜2；
（3）试探究：当n≥2时，是否有6n(n+1)(2n+1)＜Sn＜53？说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n≠0
∴a_na_n-1≠0（n≥2）
∴ananan-1=(1-2n)anan-1anan-1+an-1anan-1，
即1an-1=(1-2n)+1an即有1an-1an-1=2n-1，
∴1an=1a1+(1a2-1a1)+(1a3-1a2)+…+(1an-1an-1)=1+3+5+7+…+（2n-1）=n(1+2n-1)2=n2（n≥2）
又1a1=1也适合上式，
∴an=1n2．
（2）证明：∵an=1n2
∴Sn=a1+a2+…+an=1+122+132+…+1n2
∵当n≥2时，1n2＜1(n-1)n=1n-1-1n
∴1+122+132+…+1n2＜1+[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1-1n+1)]=2-1n+1＜2．
又∵1n2＞1n(n+1)=1n-1n+1
∴Sn＞(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1
∴当n≥2时，nn+1＜Sn＜2．
（3）∵1n2=44n2＜4(2n-1)(2n+1)=2(12n-1-12n+1)
∴1+122+132+…+1n2＜1+2[(13-15)+(15-17)+…+(12n-1-12n+1)]
=53-22n+1＜53
当n≥2时，要Sn＞6n(n+1)(2n+1)只需nn+1＞6n(n+1)(2n+1)
即需2n+1＞6，显然这在n≥3时成立
而S2=1+14=54，当n≥2时6n(n+1)(2n+1)=6×2(2+1)(4+1)=45显然54＞45
即当n≥2时Sn＞6n(n+1)(2n+1)也成立
综上所述：当n≥2时，有6n(n+1)(2n+1)＜Sn＜53．

解析

ananan-1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足an≠0，a1=1，a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。