数列{an}满足：a1=1，且对任意的m，n∈N*都有：am+n=am+an+mn，则1a1+1a2+1a3+…+1a2011=A．20102011B．

题文

数列{a_n}满足：a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，则1a1+1a2+1a3+…+1a2011=（ ）A．20102011B．20111006C．20112012D．20101006 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为a_n+m=a_m+a_n+mn对任意的m，n∈N^*都成立
所以a_n+1=a_n+a₁+n=1+n
即a_n+1-a_n=1+n
所以a₂-a₁=2
   a₃-a₂=3
…
   a_n-a_n-1=n
把上面n-1个式子相加可得，a_n-a₁=2+3+4+…+n
所以an=1+2+3+…+n=n(n+1)2
从而有1an=2n(n+1)=2(1n-1n+1)
所以1a1+1a2+…+1an=2(1-12+13-14+…+1n-1n+1)=2(1-1n+1)=2nn+1
则1a1+1a2+…+1a2011=2×20112012=20111006
故选：B

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足：a1=1，且对任意的m.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。