已知数列{an}的前n项和为Sn=3n，数列{bn}满足b1=-1，bn-1=bn+．求数列{an}的通项公式an；求数列{

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n-1=b_n+（2n-1）（ n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（Ⅲ）若c_n=an•bnn，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=3ⁿ，
∴S_n-1=3^n-1（n≥2）．
∴a_n=S_n-s_n=3ⁿ-3^n-1=2•3^n-1（n≥2）．
当n=1时，2•3⁰=2≠S₁=3，
∴an=3，n=12•3n-1，n≥2       （4分）
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+（2n-1）
∴b₂-b₁=1，
b₃-b₂=3，
b₄-b₃=5，
…
b_n-b_n-1=2n-3，
以上各式相加得
b_n-b₁=1+3+5+…+（2n-3）=(n-1)(2n-2)2=（n-1）²
∵b₁=-1，∴b_n=n²-2n．     （9分）
（Ⅲ）由题意得Cn=-3，n=12(n-2)•3n-1，(n≥2)
当n≥2时，
T_n=-3+2•0×3+2•1×3²+…+2（n-2）×3^n-13T_n=-9+2•0×3²+2•1×3³+2•2×3⁴+…+2（n-2）×3ⁿ
相减得：-2T_n=（n-2）×3ⁿ-（3+3²+3³+…+3^n-1）
T_n=（n-2）×3ⁿ-（3+3²+3³+…+3^n-1）=(2n-5)•3n+32
Tn=-3，n=1(2n-5)•3n+32，n≥2=(2n-5)•3n+32

解析

3，n=12•3n-1，n≥

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn=3n，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。