已知数列{an}的前n项和是sn=n2-2n+2，求数列{an}的通项公式；令bn=anxn．求数列{bn}前n项和的公式．

题文

已知数列{a_n}的前n项和是s_n=n²-2n+2，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R且x≠0）．求数列{b_n}前n项和的公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=S₁=1-2+2=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n+2-[（n-1）²-2（n-1）+2]
=2n-3．
∴an=1，n=12n-3，n≥2．
（2）设数列{b_n}前n项和为T_n．
b₁=x，
n≥2时，bn=(2n-3)xn．
∴当n=1时，T₁=b₁=x；
当n≥2时，T_n=x+x²+3x³+…+（2n-3）xⁿ，
xTn=x2+x3+3x4+…+（2n-5）xⁿ+（2n-3）xⁿ⁺¹
∴（1-x）T_n=x+2x³+2x⁴+…+2xⁿ-（2n-3）xⁿ⁺¹
①x≠1，T_n=x1-x+2x3-2xn+1(1-x)2-(2n-3)xn+11-x．
②当x=1时，T₁=1，
n≥2时，T_n=1+1+3+…+（2n-3）=1+（n-1）²=n²-2n+2．

解析

1，n=12n-3，n≥2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和是sn=n2-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。