设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足Sn=(an+12)2①先求出a1，a2，a3，a4的值，然后猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．②设b

题文

设正数数列{a_n}的前n项之和为S_n满足S_n=(an+12)2
①先求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
②设bn=1anan+1，数列{b_n}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①在 S_n=(an+12)2中，令n=1可得，a₁=(a1+12)2，∴a₁=1． 令n=2 可得，1+a₂=(a2+12)2，
 a₂ =3，同理可求，a₃=5，a₄=7．
猜测a_n=2n-1．
证明：当n=1时，猜测显然成立，假设   a_k=2k-1，
则由  a_k+1=s_k+1-s_k=(ak+1+12)2-(ak+12)2=(ak+1+12)2-k²，解得 a_k+1=2k+1，
故n=k+1时，猜测仍然成立，
③∵bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1 ），
∴T_n=12[（1-13）+（13 -15）+（ 15- 17）+…+（12n-1-12n+1）]=12（1-12n+1 ）
=n2n+1．

解析

an+12

考点

据考高分专家说，试题“设正数数列{an}的前n项之和为Sn满足.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。