设数列{an} 前n项和Sn=n(an+1)2，n∈N*且a2=a，求数列{an} 的通项公式an．若a=3，Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a

题文

设数列{a_n} 前n项和Sn=n(an+1)2，n∈N*且a2=a，
（1）求数列{a_n} 的通项公式a_n．
（2）若a=3，T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，求T₁₀₀的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（1）∵sn=n(an+1)2sn+1=(n+1)(an+1+1)2
S_n+1-S_n得2a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+1（12分）
即（n-1）a_n+1=na_n-1③
∴na_n+2=（n+1）a_n+1-1④（4分）
④-③得na_n+2-（n-1）a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n
⇒n（a_n+2+a_n）=2na_n+1
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁（6分）
而n=1时S1=a1+12=a1，
∴a₁=1，又a₂=a=a₁+d
∴{a_n} 为等差数列，公式d=a-1
故a_n=a₁+（n-1）d=（n-1）（a-1）+1；（8分）
（2）∵a=3
∴a_n=2（n-1）+1=2n-1（10分）
故T₁₀₀=a₁a₂-a₂a₃+a₁₀₀a₁₀₁
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）++a₁₀₀（a₉₉-a₁₀₁）
=-4（a₂+a₄++a₁₀₀）
=-4(a2+a100)×502=-100（3+199）=-20200（13分）

解析

sn=n(an+1)2sn+1=(n+1)(an+1+1)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an} 前n项和Sn=n(an+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。