设数列{an}是一个公差不为零的等差数列，已知它的前10项和为110，且a1，a2，a4成等比数列．求数列{an}的通项公式若bn=an求

题文

设数列{a_n}是一个公差不为零的等差数列，已知它的前10项和为110，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若b_n=（n+1）a_n求数列{1bn}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁，a₂，a₄成等比数列，∴a₂²=a₁a₄
∵{a_n}是等差数列，∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），化简得a₁=d
∵S₁₀=110，∴10a₁+45d=110
a₁=d，代入上式得55d=110，∴d=2，a_n=a₁+（n-1）d=2n
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n；
（2）1bn=12n(n+1)=12（1n-1n+1）
∴T_n=12（1-12+12-13+…+1n-1n+1）=12(1-1n+1)=n2n+2．

解析

1bn

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是一个公差不为零的等差数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。