已知a1=9，点在函数f=x2+2x的图象上，其中n∈N*，设bn=lg．证明数列{bn}是等比数列；设cn=n

题文

已知a₁=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n∈N^*，设b_n=lg（1+a_n）．
（Ⅰ） 证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ） 设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ） 设dn=1an+1an+2，求数列{d_n}的前n项和D_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ） 证明：由题意知：an+1=a2n+2an，
∴an+1+1=(an+1)2，
∵a₁=9∴a_n+1＞0，
∴lg(an+1+1)=lg(an+1)2，即b_n+1=2b_n．
又∵b₁=lg（1+a₁）=1＞0，
∴{b_n}是公比为2的等比数列．
（Ⅱ） 由（1）知：bn=b1•2n-1=2n-1，∴cn=n•2n-1．
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+n•2^n-1①，
∴2Sn=1•21+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n②，
∴①-②得，-Sn=1•20+21+22+…+2n-1-n•2n=1-2n1-2-n•2n=2n-1-n•2n，
∴S n=n•2n-2n+1．
（Ⅲ）∵an+1=a2n+2an=an(a n+2)＞0，
∴1an+1=12(1an-1an+2)，∴1an+2=1an-2an+1，
∴dn=1an+1an-2an+1=2(1an-1an+1)，
∴Dn=d1+d2+…+dn=2(1a1-1a2+1a2-1a3+…1an-1an+1)=2(1a1-1an+1)，
又由（1）知：lg(1+an)=2n-1，
∴an+1=102n-1，∴an+1=102n-1，
∴Dn=2(19-1102 n-1)．

解析

a2n

考点

据考高分专家说，试题“已知a1=9，点（an，an+1）在函数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。