已知数列{an}是首项a1=1的等比数列，其前n项和Sn中，S3、S4、S2成等差数列．求数列{an}的通项公式；设bn=2log12|an|+1，

题文

已知数列{a_n}是首项a₁=1的等比数列，其前n项和S_n中，S₃、S₄、S₂成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=2log12|an|+1，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（3）求满足(1-1T2)(1-1T3)•…•(1-1Tn)＞10132013的最大正整数n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若q=1，则S₃=3，S₄=4，S₂=2，显然S₃，S₄，S₂不构成等差数列，
∴q≠1．
故由S₃，S₄，S₂成等差数列得：2•a1(1-q4)1-q=a1(1-q3)1-q+a1(1-q2)1-q…（2分）
∴2q⁴=q³+q²⇒2q²-q-1=0⇒（2q+1）（q-1）=0，
∵q≠1，
∴q=-12．…（4分）
∴a_n=1×(-12)n-1=(-12)n-1．…（5分）
（2）∵b_n=2log12|a_n|+1=2log12|(-12)n-1|+1=2log12(12)n-1+1=2（n-1）+1=2n-1…（7分）
∴T_n═1+3+…+（2n-1）=n(1+2n-1)2=n²．…（9分）
（3）（1-1T2）（1-1T3）…（1-1Tn）
=（1-122）（1-132）…（1-1n2）
=22-122•32-132…n2-1n2=1•3•2•4•3•5•…•(n-1)(n+1)22•32•42•…•n2…（11分）
=n+12n．…（13分）
令n+12n＞10132013，解得：n＜1541113．
故满足条件的最大正整数n的值为154．…（14分）

解析

a1(1-q4)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项a1=1的等比数列.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。