等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a2-1)3+2011(a2-1)=sin2011π3，(a2010-1)3+2011(a2010-1)=cos2011

题文

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知(a2-1)3+2011(a2-1)=sin2011π3，(a2010-1)3+2011(a2010-1)=cos2011π6，则S2011等于（ ）A．4022B．0C．2011D．20113 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵(a2-1)3+2011(a2-1)=sin2011π3①
（a₂₀₁₀-1）³+2011(a2010-1)=cos2011π6②
①+②得
（a₂-1）³+2011（a₂-1）=1
（a₂₀₁₀-1）³+2011（a₂₀₁₀-1）=-1
二式相加，得
（a₂-1+a₂₀₁₀-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₀-1）+（a₂₀₁₀-1）²]+2011（（a₂-1+a₂₀₁₀-1）=0
（a₂-1+a₂₀₁₀-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（a₂₀₁₀-1）+（a₂₀₁₀-1）²+2011]=0
∴a₂-1+a₂₀₁₀-1=0
a₂+a₂₀₁₀=2
∴S2011=(a1+a2011)× 20112=(a2+a2010)× 20112=2011
故选C．

解析

2011π3

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。