已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an，n为奇数an+2，n为偶数，且a1+a3+a5+…+a2k-1=3049，则正整数k的值为A．11B．8

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，an+1=2an，     n为奇数an+2，  n为偶数，且a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=3049，则正整数k的值为（ ）A．11B．8C．10D．9 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意可得：a_2k+1=a_2k+2，a_2k=a_2k-1+1=2a_2k-1，（k∈N^*）
∴a_2k+1=2a_2k-1+2，
化为a_2k+1+2=2（a_2k-1+2），
∴数列{a_2k-1+2}是以3为首项，2为公比的等比数列，
∴a_2k-1+2=3×2^k-1，化为a2k-1=3×2k-1-2．
∴3049=a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=3×（1+2+2²+…+2^k-1）-2k=3×(2k-1)2-1-2k=3×2^k-3-2k，
化为3×2^k-1=1526+k，
∵2^10-1=512满足上式，故k=10．
故选C．

解析

3×(2k-1)2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。