对数列{an}，规定{△an}为数列{an}的一阶差分数列，其中△an=an+1-an．对正整数k，规定{△kan}为{an}的k阶差分数列，其中△

题文

对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）．对正整数k，规定 {△^ka_n}为{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n=△（△^k-1a_n）．
（Ⅰ）若数列{a_n}的首项a₁=1，且满足△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{a_n}，若数列{b_n}是等差数列，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n对一切正整数n∈N^*都成立，求b_n；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令c_n=（2n-1）b_n，设Tn=c1a1+c2a2+c3a3+…+cnan，若T_n＜m成立，求最小正整数m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由△²a_n-△a_n+1+a_n=-2ⁿ及△²a_n=△a_n+1-△a_n，
得△a_n-a_n=2ⁿ，
∴a_n+1-2a_n=2ⁿ，
∴an+12n+1-an2n=12，---------------（2分）
∴数列{an2n}是首项为12，公差为12的等差数列，
∴an2n=12+(n-1)×12，
∴a_n=n•2^n-1．--------（4分）
（Ⅱ）∵b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=a_n，
∴b₁C_n¹+b₂C_n²+b₃C_n³+…+b_n-1C_n^n-1+b_nC_nⁿ=n•2^n-1．
∵kC_n^k=nC_n-1^k-1，
∴C1n+2C2n+3C3n+…+(n-1)Cn-1n+nCnn=nC0n-1+nC1n-1+nC2n-1+…+nCn-1n-1=n(C0n-1+C1n-1+C2n-1+…+Cn-1n-1)=n•2n-1.
∴b_n=n．------------（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得  
T_n=11+32+522+…+2n-12n-1，①
  12Tn=12+322+523+…+2n-12n，②
①-②得 12Tn=1+1+12+122+123+…+12n-2-2n-12n=3-12n-2-2n-12n，
∴T_n=6-12n-3-2n-12n-1＜6，----------（10分）
又T_n=11+32+522+…+2n-12n-1，
∴T_n+1-T_n＞0，
∴{T_n}是递增数列，且T₆=6-123-1125＞5，
∴满足条件的最小正整数m的值为6．--------（13分）

解析

an+12n+1

考点

据考高分专家说，试题“对数列{an}，规定{△an}为数列{a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。