在数列{an}中，已知a1=1，an=an-1+an-2+…+a2+a1．求数列{an}的通项公式；若bn=log2an，1b3

题文

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，1b3b4+1b4b5+…+1bnbn+1＜m对于任意的n∈N*，且n≥3恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n=a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁（n∈N*，n≥2），
∴S_n-S_n-1=S_n-1，∴SnSn-1=2，
∴数列{S_n}是以S₁=a₁=1为首项，以2为公比的等比数列，
∴S_n=2^n-1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2．
∵a₁=1不适合上式，
∴数列的通项公式为an=1(n=1)2n-2(n≥2).
（2）当n∈N*，且n≥3时，b_n=n-2，1bnbn+1=1(n-2)(n-1)=1n-2-1n-1，
∴1b3b4+1b4b5+…+1bnbn+1=(1-12)+(12-13)+…+(1n-2-1n-1)=1-1n-1＜m恒成立，
∴m≥1．

解析

SnSn-1

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，已知a1=1，an=a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。