数列{an}的通项an=n2(cos2nπ3-sin2nπ3)，其前n项和为Sn，求Sn；bn=S3nn•4n，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

数列{a_n}的通项an=n2(cos2nπ3-sin2nπ3)，其前n项和为S_n，
（1）求S_n；
（2）bn=S3nn•4n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由于cos2nπ3-sin2nπ3=cos2nπ3，an=n2•cos2nπ3
故S_3k=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3k-2+a_3k-1+a_3k）
=(-12+222+32)+(-42+522+62)+…+[-(3k-2)2+(3k-1)22+(3k)2]
=132+312+…+18k-52=k(4+9k)2
S3k-1=S3k-a3k=k(4-9k)2，
S3k-2=S3k-1-a3k-1=k(4-9k)2+(3k-1)22=12-k=-3k-23-16，
故Sn=-n3-16n=3k-2(n+1)(1-3n)6n=3k-1n(3n+4)6n=3k（k∈N^*）
（2）bn=S3nn•4n=9n+42•4n，
Tn=12[134+2242++9n+44n]，
4Tn=12[13+224++9n+44n-1]，
两式相减得3Tn=12[13+94+…+94n-1-9n+44n]=12[13+94-94n1-14-9n+44n]=8-122n-3-9n22n+1，
故Tn=83-13•22n-3-3n22n+1．

解析

nπ3

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的通项an=n2(cos2n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。