数列{an}中，a1=1，Sn是{an}的前n项和，且Sn+1=Sn+n，n∈N*．求数列{an}的通项公式；若bn=1Sn+1-1，求数列{bn}

题文

数列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n项和，且S_n+1=S_n+n，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=1Sn+1-1，求数列{b_n}的通项公式；
（III）若cn=n•2an+1，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由S_n+1=S_n+n，n∈N^*得a_n+1=S_n+1-S_n=n
所以an=1，n=1n-1，n≥2，（3分）
（Ⅱ）由S₁=a₁=1，S_n+1=S_n+n，利用叠加法得Sn=1+n(n-1)2（6分）
bn=1Sn+1-1=2n(n+1)（8分）
（III）cn=n•2an+1=n•2n（9分）
T_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①
2T_n=，1×2²+2×2³++（n-2）•2^n-2+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得-Tn=2+22+23++2n-n•2n+1=2-2n×21-2-n•2n+1T_n
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（14分）

解析

1，n=1n-1，n≥2

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，Sn是{an}.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。