在数列{an}中，a1=1，an+1=1-14an，bn=22an-1，其中n∈N*．求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式an；

题文

在数列{an}中，a1=1，an+1=1-14an，bn=22an-1，其中n∈N*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设cn=2n+1an，数列{c_nc_n+2}的前n项和为T_n，是否存在正整整m，使得Tn＜1cmcm+1对于n∈N^*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵bn+1-bn=22an+1-1-22an-1=22(1-14an)-1-22an-1=4an2an-1-22an-1=2(n∈N*)
∴数列{b_n}是等差数列（3分）
∵a₁=1，∴b1=22a1-1=2
∴b_n=2+（n-1）×2=2n，由bn=22an-1得，2an-1=2bn=1n(n∈N*)
∴an=n+12n
（2）cn=2n+1an=1n
．cncn+2=1n(n+2)=12(1n-1n+2)Tn=c1c2+c2c4+c3c5+cncn+2=12[(11-13)+(12-14)+(13-15)+(14-16)++(1n-1n+2)]
=12(1+12-1n+1-1n+2)＜34．（10分）
依题意要使Tn＜1cmcm+1对于n∈N*恒成立，只需m(m+1)≥34，
解得m≤-32或m≥12．所以m的最小值为1（12分）

解析

22an+1-1

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+1=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。