各项均为正数的数列{an}，a1=12，a2=45，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap

题文

各项均为正数的数列{a_n}，a₁=12，a2=45，且对满足m+n=p+q的任意正整数m，n，p，q都有am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)
（I）求通项a_n；
（II）记c_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：对任意正整数n都有T_n＜23． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）解法一：特征根法，令α=2α+1α+2得α=1
∴an-1=2an-1+1an-1+2-1=an-1-1an-1+2
∴1an-1=an-1+2an-1-1=3an-1-1+1
再利用构造新数列求通项公式
设1an-1-p=3(1a n-1-1-p)
∴1an-1=3an-1-1-2p∴-2p=1∴p=-12
∴1an-1+12=3(1an-1-1+12)又   1an-1+12=-32
∴1an-1=-12•3n-12
∴an-1=-23n+1
∴an=3n-13n+1
解法二：由am+an(1+am)(1+an)=ap+aq(1+ap)(1+aq)
得a1+an(1+a1)(1+an)=a2+an-1(1+a2)(1+an-1)
将a₁=12，a2=45，代入化简得
a_n=2an-1+1an-1+2
所以1-an1+an=131-an-11+an-1
故数列{1-an1+an}为等比数列，从而1-an1+an=13n，a_n=3n-13n+1
（II）∵an=3n-13n+1=1-23n+1
∴cn=an+1-an=1-23n+1+1-1+23n+1=4•3n(3n+1)(3n+1+1)
=4•3n32n+1+4•3n+1=43n+1+4+13n＜43n+1
∴Tn=c1+c2+…+cn＜4(132+133+…+13n+1)=4•19(1-13n)1-13=23(1-13n)＜23

解析

2α+1α+2

考点

据考高分专家说，试题“各项均为正数的数列{an}，a1=12，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。