已知数列{an}满足：a1=2，an+1=an+1n(n+1)，n∈N*．求数列{an}的通项公式an；设bn=n2nan，求数列{b

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=2，an+1=an+1n(n+1)，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设bn=n2nan（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵an+1=an+1n(n+1)
∴an+1-an=1n-1n+1
∴a2-a1=1-12，a3-a2=12-13，…，an-an-1=1n-1-1n
∴an-a1=1-12+12-13+…+1n-1-1n=n-1n
∵a₁=2，∴a_n=3-1n；
（II）bn=n2nan=（3n-1）•12n，
∴S_n=2•12+5•122+…+（3n-1）•12n①，
∴12S_n=2•122+5•123+…+（3n-4）•12n+（3n-1）•12n+1②，
①-②可得12S_n=2•12+3•122+…+3•12n-（3n-1）•12n+1，
∴12S_n=52-3•12n-（3n-1）•12n+1，
∴S_n=5-32n-1-3n-12n．

解析

1n(n+1)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=2，an+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。