已知数列{an}，a1=1，an=3n-1an-1．求数列{an}的通项公式；设Sn=log3(an273n)，数列{bn}的前

题文

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=3^n-1a_n-1（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设Sn=log3(an273n)，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列{|b_n|}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得，当n≥2时，anan-1=3n-1．
∴an=anan-1•an-1an-2•…•a3a2•a2a1•a1
=3n-1•3n-2•…•32•31•1=3(n-1)+(n-2)+…+1=3n(n-1)2．
（2）Sn=log3(an273n)
=log33n(n-1)2273n=n(n-1)2-9n=n2-19n2．
b₁=S₁=-9；
当n≥2时，b_n=f（n）-f（n-1）=n-10，
上式中，当n=1时，n-10=-9=b₁，
∴b_n=n-10．
（3）数列{b_n}为首项为-9，公差为1的等差数列，且当n≤10时，b_n≤0，故n≤10时，T_n=|S_n|=19n-n22．
当n＞10时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|
=-b₁-b₂-…-b₁₀+b₁₁+…+b_n
=|b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n|+2|b₁+b₂+…+b₁₀|
=n2-19n+1802．
∴T_n=19n-n22，(n≤10，n∈N*)n2-19n+1802，(n＞10，n∈N*).

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，a1=1，an=3n-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。