已知{an}为等比数列，a1=1，前n项和为Sn，且S6S3=28，数列{bn}的前n项和为Tn，且点均在抛物线y=12x2+12x上．求{a

题文

已知{a_n}为等比数列，a₁=1，前n项和为S_n，且S6S3=28，数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线y=12x2+12x上．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S′_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等比数列的公比为q，则由S6S3=28可知q≠1
∵S6S3=28，∴1-q61-q3=1+q3=28，∴q=3
∵a₁=1，∴an=3n-1
∵数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线y=12x2+12x上
∴Tn=12n2+12n
当n≥2时，bn=Tn-Tn-1= (12n2+12n)-[12(n-1)2+12(n-1)]=n
∵b₁=T₁=1
∴b_n=n
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•3^n-1，∴S'_n=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，
∴3S'_n=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，
两式相减，得-2S'_n=1•3⁰+1•3¹+1•3²+…+1•3^n-1-n•3ⁿ=1-3n1-3-n•3ⁿ=3n-12-n•3ⁿ=(1-2n)3n-12，
得  S'_n=(2n-1)3n+14．

解析

S6S3

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}为等比数列，a1=1，前n项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。