设数列{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1，a3+b5=21，a5+b3=13，求数列{an}，{bn}的通项公式；若

题文

设数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=b₁，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{anbn}的前n项和为S_n，试比较S_n与4的大小关系． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0且1+2d+q4=211+4d+q2=13
解得d=2，q=2．
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．
（2）anbn=2n-12n-1．
Sn=1+321+522++2n-32n-2+2n-12n-1，①
∴2Sn=2+3+52++2n-32n-3+2n-12n-2，②
②-①得Sn=2+2+22+222++22n-2-2n-12n-1
=2+2×(1+12+122++12n-2)-2n-12n-1
=2+2×1-12n-11-12-2n-12n-1
=6-2n+32n-1．
S_n-4=2-2n+32n-1，
由S_n-4＜0得出2ⁿ＜2n+3，解得n=1，2，3，
由S_n-4＞0得出2ⁿ＞2n+3，解得n=4，5，6，…．
所以当n≤3时S_n＜4，当n≥4时S_n＞4．

解析

1+2d+q4=211+4d+q2=13

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是等差数列，{bn}是各项.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。