已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=aa-1(an-1)求数列{an}的通项公式；记bn=nan，求

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：Sn=aa-1(an-1)（其中a为常数且a≠0，a≠1，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn=aa-1(an-1)，
∴Sn+1=aa-1(an+1-1)，
从而a_n+1=S_n+1-S_n=aa-1（a_n+1-a_n），
∴a_n+1=a•a_n，
当n=1时，由Sn=aa-1(an-1)，得a₁=a．
∴数列{a_n}是以a为首项，a为公比的等比数列，故an=an．
（2）由（1）得bn=n•an，
∴Tn=a+2a2+3a3+…+nan，
从而aT_n=a²+2a³+3a⁴+…+naⁿ⁺¹，
两式相减，得(1-a)Tn=a+a2+a3+…+an-naⁿ⁺¹，
∵a≠0，且a≠1，
∴(1-a)Tn=a(1-an)1-a-nan+1
=nan+2-(n+1)an+1+a1-a，
从而T_n=nan+2-(n+1)an+1+a(1-a)2．

解析

aa-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。