已知数列{an}满足：a1=1；an+1-an=1，n∈N*．数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn+bn=2，n∈N*．求数列{an}、{bn}的通项公式

题文

已知数列{a_n}满足：a₁=1；a_n+1-a_n=1，n∈N^*．数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）令数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求其前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知a₁=1；an+1-an=1，n∈N*，
∴数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为1．
∴其通项公式为a_n=n…（3分）
∵S_n+b_n=2，∴S_n+1+b_n+1=2，
两式相减，化简可得bn+1bn=12，
∴数列{b_n}为等比数列，
又S₁+b₁=2，
∴b₁=1，
∴bn=12n-1…（7分）
（2）由已知得：cn=n•12n-1
∴Tn=1+22+322+…+n2n-1，
∴12Tn=12+222+323+…+n-12n-1+n2n
∴12Tn=1+12+122+123+…+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2(1-12n)-n2n…（11分）
∴Tn=4(1-12n)-n2n-1=4-2+n2n-1…（13分）

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：a1=1；an+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。