已知在数列{an}中，Sn是前n项和，满足Sn+an=n，．求a1，a2，a3的值；求数列{an}的通项公式；令bn=（

题文

已知在数列{a_n}中，S_n是前n项和，满足S_n+a_n=n，（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3，…），求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n+a_n=n，
∴a₁=12，a₂=34，a₃=78．…（3分）
（Ⅱ）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n=n-a_n，…①
a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，…②
②-①得2a_n+1-a_n=1，
即a_n+1-1=12（a_n-1）．…（5分）
又a₁-1=-12，
∴数列{a_n-1}是以-12为首项，以12为公比的等比数列．…（7分）
∴a_n-1=（-12）(12)n-1=-(12)n，
可得a_n=1-(12)n．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a_n=1-(12)n，
∵b_n=（2-n）（a_n-1）=（2-n）[-(12)n]=n-22n，…（10分）
所以数列{b_n}的前n项和T_n=-12+022+123+…+n-22n．…①
所以12T_n=-122+023+124+…+n-22n+1．…②…（12分）
①-②得12T_n=-12+122+123+…+12n-n-22n+1=-n2n+1．
所以T_n=-n2n．…（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知在数列{an}中，Sn是前n项和，满.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。