已知函数f=logmx，且数列{f}是首项为2，公差为2的等差数列．若bn=an•f，当m=22时，求数列

题文

已知函数f（x）=log_mx（mm为常数，0＜m＜1），且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），当m=22时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（2）设c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意得f（a_n）=2+2（n-1）=log_ma_n，可得2n=log_ma_n，…（1分）
∴a_n=m²ⁿ．…（2分）
b_n=a_n•f（a_n）=2n•m²ⁿ．
∵m=22，∴b_n=a_n•f（a_n）=2n•（22）²ⁿ=n•（12）^n-1，…（3分）
∴S_n=1•（12）⁰+2•（12）¹+3•（12）²+…+n•（12）^n-1，①
12S_n=1•（12）¹+2•（12）²+3•（12）³+…+n•（12）ⁿ，②…（4分）
①-②，得12S_n=（12）⁰+（12）¹+（12）²+…+（12）^n-1-n•（12）ⁿ=1-12n1-12-n•(12)n…（6分）
∴化简得：S_n=-（n+2）（12）^n-1+4  …（7分）
（2）由（Ⅰ）知，c_n=a_n•lga_n=2n•m²ⁿlgm，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即nlgm＜（n+1）m²lgm对一切n∈N^*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式转化为n＞（n+1）m²，对一切n∈N^*成立，
只需m²＜（nn+1）_min即可，…（10分）
∵h（n）=nn+1在正整数范围内是增函数，∴当n=1时，（nn+1）_min=12．…（12分）
∴m²＜12，且0＜m＜1，，∴0＜m＜22．…（13分）
综上所述，存在实数m∈（0，22）满足条件．…（14分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=logmx（mm为常数.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。