设f，g是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有ff=f，g+g=g，若a1=12，an=f

题文

设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），g（x）+g（y）=g（x+y），若a1=12，an=f(n)(n∈N*)，且b1=1，bn=g(n)(n∈N*)，则数列{a_nb_n}的前n项和为S_n为（ ）A．n(n+1)2B．n+1-12nC．3n2D．2-n+22n 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵f（x）f（y）=f（x+y），
∴令x=1，y=n可得f(n+1)f(n)=f(1)=a1=12
∴an+1an=12
∴{a_n}是以12为首项，12为公比的等比数列
∴an=12n
∵g（x）+g（y）=g（x+y），
∴∴令x=1，y=n可得g（1）+g（n）=g（n+1）
∴b_n+1-b_n=g（1）=b₁=1
∴数列{b_n}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴b_n=n
∴数列{a_nb_n}的前n项和为S_n=1×12+2×122+…+n×12n
∴12S_n=1×122+2×123+…+（n-1）×12n+n×12n+1
两式相减可得12S_n=1×12+1×122+1×123+…+12n-n×12n+1
∴S_n=2-12n-1-n2n
故选D．

解析

f(n+1)f(n)

考点

据考高分专家说，试题“设f（x），g（x）是定义在R上的恒不为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。