已知x轴上有一列点P1，P2P3，…，Pn，…，当n≥2时，点Pn是把线段Pn-1Pn+1作n等分的分点中最靠近Pn+1的点，设线段P1P2，P2P3，P3P4

题文

已知x轴上有一列点P₁，P₂ P₃，…，P_n，…，当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1 P_n+1 作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的长度分别 为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）求a_n关于n的解析式；
（2 ）证明：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3
（3）设点P（n，a_n） {n≥3），在这些点中是否存在两个点同时在函数y=k(x-1)2(k＞0) 的图象上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，∴a₂=1，同理a₃=12，anan-1=1n-1
∴a_n=1n-1a_n-1=1n-1•1n-2•a_n-2=…=1(n-1)!
（2）证明：∵n≥2时，1(n-1)!=11×2×…×n≤12n-2
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1+12+…12n-2=3-12n-2＜3
而n=1时，结论成立，故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假设有两个点A（p，a_p），B（q，a_q），都在函数y=k(x-1)2上，
即a_p=k(p-1)2，a_q=k(q-1)2
所以(p-1)2(p-1)!=k，(q-1)2(q-1)!=k，消去k得(p-1)2(p-1)!=(q-1)2(q-1)! ①，
设b_n=n2n!，考查数列{b_n}的增减情况，
∵b_n-b_n-1=n2n!-(n-1)2(n-1)!=-n2-3n+1(n-1)!，
∴当n＞2时，n²-3n+1＞0，所以对于数列{b_n}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，
∴不存在两个点同时在函数y=k(x-1)2(k＞0) 的图象上．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知x轴上有一列点P1，P2P3，…，P.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。