数列{an}中，a1=1，且点在直线l：2x-y+1=0上．设bn=an+1，求证：{bn}是等比数列；设Cn=n，

题文

数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1，求证：{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设C_n=n（3a_n+2），求{C_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）数列{a_n}中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在直线l：2x-y+1=0上．
所以2a_n-a_n+1+1=0，即2a_n+2=a_n+1+1，
所以{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
a_n=2ⁿ-1，
b_n=a_n+1=2ⁿ，
bn+1bn=2n+12n=2
所以{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设C_n=n（3a_n+2）=3n×2ⁿ-n，
{C_n}的前n项和．Sn=3× 21+3×2×22+3×3×23+…+3×n×2n-(1+2+3+…+n)，
令T=3×2¹+3×2×2²+3×3×2³+…+3×n×2ⁿ，…①，
所以2T=3×2²+3×2×2³+3×3×2⁴+…+3×n×2ⁿ⁺¹…②，
①-②得：-T=3（2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹），
T=3（n-1）•2ⁿ⁺¹+6，
所以Sn=3(n-1)•2n+1+6-n(n+1)2．

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，且点（an，a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。