已知数列{an} 中，a1=1，a2=14，且an+1=(n-1)ann-an求a3、a4的值；设bn=1an+1-1（n∈N

题文

已知数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=14，且an+1=(n-1)ann-an（n=2，3，4，…）
（1）求a₃、a₄的值；
（2）设b_n=1an+1-1（n∈N^*），试用b_n表示b_n+1并求{b_n} 的通项公式；
（3）设c_n=sin3cosbn•cosbn+1（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵数列{a_n} 中，a₁=1，a₂=14，
且an+1=(n-1)ann-an（n=2，3，4，…），
∴a3=(2-1)a22-a2=142-14=17，
a4=(3-1)a33-a3=2×173-17=110，
∴a3=17，a4=110．…（3分）
（2）当n≥2时，1an+1-1=n-an(n-1)an-1=n(1-an)(n-1)an=nn-1(1an-1)，
∴当n≥2时，bn=nn-1bn-1，
故bn+1=n+1nbn，n∈N*，
累乘得b_n=nb₁，
∵b₁=3，∴b_n=3n，n∈N^*．…（8分）
（3）∵cn=sin3cosbn•cosbn+1
=sin(3n+3-3n)cos(3n+3)•cos3n=tan(3n+3)-tan3n，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=（tan6-tan3）+（tan9-tan6）+…+（tan（3n+3）-tan3n）
=tan（3n+3）-tan3．…（13分）

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an} 中，a1=1，a2=1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。