已知函数f的定义域为N*，且f=f+x，f=0．求f的解析式．设an=1f(n)．(n∈N*，n≥2)，Sn=a2

题文

已知函数f（x）的定义域为N^*，且f（x+1）=f（x）+x，f（1）=0．
（1）求f（x）的解析式．
（2）设an=1f(n)．(n∈N*，n≥2)，Sn=a2+a3+a 3+…+an，问是否存在最大的正整数m，使得对任意的n∈N*均有Sn＞m2012恒成立？若存在，求出m值；若不存在请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=n，则由f（x+1）=f（x）+x可得f（n+1）-f（n）=n
∴f（n）=f（1）+[f（2）-f（1）]+…+[f（n）-f（n-1）]=1+2+…+（n-1）=n(n-1)2（n≥2）
n=1时，f（1）=0也满足上式
∴f(n)=n(n-1)2
∴f（x）=x(x-1)2；
（2）an=1f(n)=2n(n-1)=2（1n-1-1n）（n≥2）
∴S_n=2[（1-12）+（12-13）+…+（1n-1-1n）]=2-2n
∵n≥2时，Sn+1-Sn=2n-2n+1＞0
∴S_n（n≥2）递增，
∴（S_n）_min=a₂=1
∵对任意的n∈N^*均有Sn＞m2012恒成立
∴1＞m2012
∴m＜2012
∴最大的正整数m为2011．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）的定义域为N*，且f（x.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。