在等差数列{an}，等比数列{bn}中，a1=b1=1，a2=b2，a4=b3≠b4．设Sn为数列{an}的前n项和，求anbn和Sn；设Cn=an

题文

在等差数列{a_n}，等比数列{b_n}中，a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃≠b₄．
（Ⅰ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，求a_nb_n和S_n；
（Ⅱ）设Cn=anbnSn+1（n∈N^*），R_n=C₁+C₂+…+C_n，求R_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（I）由题意可得1+d=q1+3d=q2q≠1（4分）
∴q=2d=1
∴a_n=1+（n-1）×1=n，bn=2n-1
∴anbn=n•2n-1，Sn=n(n+1)2（4分）
（II）∵Cn=n•2n-1(n+1)(n+2)2=n•2n(n+1)(n+2)=2n+1n+2-2nn+1（4分）
∴R_n=C₁+C₂+…+C_n
=(223-212)+(234-223)+…+(2n+1n+2-2nn+1)
=2n+1n+2-1（3分）

解析

1+d=q1+3d=q2q≠1

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}，等比数列{bn}中，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。