已知数列{an}满足an=an+1+4，a18+a20=12，等比数列{bn}的首项为2，公比为q．若q=3，问b3等于数列{an}中的第几项？数列

题文

已知数列{a_n}满足a_n=a_n+1+4，a₁₈+a₂₀=12，等比数列{b_n}的首项为2，公比为q．
（Ⅰ）若q=3，问b₃等于数列{a_n}中的第几项？
（Ⅱ）数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别记为S_n和T_n，S_n的最大值为M，当q=2时，试比较M与T₉的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）b₃=b₁q²=18．                                      …（2分）
由a_n=a_n+1+4，得a_n+1-a_n=-4，即{a_n}是公差d=-4的等差数列．…（3分）
由a₁₈+a₂₀=12，得a₁+18d=6⇒a₁=78
∴a_n=78+（n-1）（-4）=-4n+82
令-4n+82=b₃=18，得n=16
∴b₃等于数列{a_n}中的第16项
（II）∵b₁=q=2
∴T₉=2(1-29)1-2=2¹⁰-2=1022
又S_n=78n+n(n-1)2•(-4)=-2n²+80n=-2（n-20）²+800
∴n=20时，最大值M=800
∴M＜T₉

解析

2(1-29)1-2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足an=an+1+4，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。