数列{an}中an+1+an=3n-54(n∈N*)．若a1=-20，求数列的通项公式；设Sn为{an}的前n项和，证明：当a1＞-27时，有相同的

题文

数列{a_n}中an+1+an=3n-54(n∈N*)．
（1）若a₁=-20，求数列的通项公式；
（2）设S_n为{a_n}的前n项和，证明：当a₁＞-27时，有相同的n，使S_n与|a_n+1+a_n|都取最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵an+1+an=3n-54(n∈N*)，
∴a_n+2+a_n+1=3n-51
∴两式相减得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，与a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差数列
∵a₁=-20，∴a₂=-31，
①当n为奇数时，a_n=3n-432；②当n为偶数时，a_n=3n-682
∴a_n=3n-432，n为奇数3n-682，n为偶数；
（2）n=18时，|a_n+1+a_n|有最小值0；
①当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=（3×1-54）+（3×3-54）+…+[3（n-1）-54]=3[1+3+5+…+（n-1）]-n2×54=34n²-27n=34（n-18）²-243，
∴当n=18时，（S_n）_min=-243；
②当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）=34n²-27n+1054+a₁=34（n-18）²-21634+a₁，
∴当n=17或19时（S_n）_min=a₁-216＞-243；
综上，当n=18时（S_n）_min=-243．
∴当a₁＞-27时，有相同的n，使S_n与|a_n+1+a_n|都取最小值．

解析

3n-432

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中an+1+an=3n-54.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。