题文
已知正项数列{an}满足a 1=P(0＜P＜1)，且a n+1=a na n+1，（1）求数列的通项an；
（2）求证：a 12+a 23+a 34+…+a nn+1＜1． 题型：未知 难度：其他题型
答案
由已知an+1=anan+1可得，1an+1=an+1an=1an+1，1a1=1p即1an+1-1an=1
数列{1an}是以1p为首项，以1为公差的等差数列
∴1an=1p+(n-1)×1=n-1+1p即an=1n-1+1p
∵0＜P＜1∴1p-1＞0
∴ann+1=1(n+1)(n-1+1p)＜1n(n+1)=1n-1n+1
a12+a23+…+ ann+1 ＜1-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1＜1即证
解析
anan+1考点
据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}满足a1=P(0＜P.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
