设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0求数列{an}的通项公式；设a=12，c=12，bn=n(

题文

设数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a=12，c=12，bn=n(1-an)，n∈N*，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若0＜a_n＜1对任意n∈N*成立，证明0＜c≤1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题设得：n≥2时，a_n-1=c（a_n-1-1）=c²（a_n-2-1）=…=c^n-1（a₁-1）=（a-1）c^n-1．
所以a_n=（a-1）c^n-1+1．
当n=1时，a₁=a也满足上式．
故所求的数列{a_n}的通项公式为：a_n=（a-1）c^n-1+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=n(1-an)=n(12)n.Sn=b1+b2++bn=12+2(12)2+3(12)3++n(12)n，12Sn=(12)2+2(12)3+3(12)4++n(12)n+1
∴12Sn=12+(12)2+(12)3+(12)4++(12)n-n(12)n+1．
∴Sn=1+12+(12)2+(12)3+(12)4++(12)n-1-n(12)n=2[1-(12)n]-n(12)n
所以∴Sn=2-(n+2)(12)n．
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知a_n=（a-1）c^n-1+1．
若0＜（a-1）c^n-1+1＜1，则0＜（1-a）c^n-1＜1．
因为0＜a₁=a＜1，∴0＜cn-1＜11-a(n∈N+)．
由于c^n-1＞0对于任意n∈N₊成立，知c＞0．
下面用反证法证明c≤1．
假设c＞1．由函数f（x）=c^x的图象知，当n→+∞时，c^n-1→+∞，
所以cn-1＜11-a不能对任意n∈N₊恒成立，导致矛盾．∴c≤1．因此0＜c≤1

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足a1=a，an+1=c.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。