已知函数f=ax+b，当x∈[a1，b1]时f的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时f的值域为[a3，b3]，…依此类推，一般地，当x

题文

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时f（x）的值域为[a₃，b₃]，…依此类推，一般地，当x∈[a_n-1，b_n-1]时f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中a、b为常数且a₁=0，b₁=1
（1）若a=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）若a＞0且a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＜0，设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=1时，f（x）=x+b在R上是增函数，
由已知，当n≥2时，x∈[a_n-1，b_n-1]，f（x）的值域是[a_n，b_n]，
∴a_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=f（b_n-1）=b_n-1+b，
∴{a_n}、{b_n}都是公差为b的等差数列．
∵a₁=0，b₁=1，
∴a_n=（n-1）b，b_n=（n-1）b+1；
（2）∵a＞0，a≠1，
∴f（x）=ax+b在R上也是增函数，
由已知有b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，即b_n=ab_n-1+b（n≥2），
∴bnbn-1=a+bbn-1，
若{b_n}是公比不为1的等比数列，则bbn-1是常数，所以b=0；
（3）∵a＜0，∴f（x）=ax+b在R上是减函数，
由已知可得，b_n=f（a_n-1）=a•a_n-1+b，a_n=f（b_n-1）=a•b_n-1+b，
∴b_n-a_n=-a（b_n-1-a_n-1）（n≥2），
∴{b_n-a_n}是以1为首项，-a为公比的等比数列，
∴b_n-a_n=（-a）^n-1，
∴T_n-S_n=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=n，a=-11-(-a)n1+a，a≠-1，
于是，（T₁+T₂+…+T₂₀₀₀）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₀）
=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T₂₀₀₀-S₂₀₀₀）
=2001000，a=-12000+2001a-a2001(1+a)2，a＜0，a≠-1．

解析

bnbn-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。