在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+2n，其中λ＞0．求数列{an}的通项公式；求数列{an}的前n项和

题文

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N^*），其中λ＞0．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（III）证明存在k∈N^*，使得an+1an≤ak+1ak对任意n∈N^*均成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）解法一：a₂=2λ+λ²+（2-λ）×2=λ²+2²，a₃=λ（λ²+2²）+λ³+（2-λ）×2²=2λ³+2³，
a₄=λ（2λ³+2³）+λ⁴+（2-λ）×2³=3λ⁴+2⁴．
由此可猜想出数列{a_n}的通项公式为a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
以下用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a₁=2，等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，即a_k=（k-1）λ^k+2^k，
那么，a_k+1=λa_k+λ^k+1+（2-λ）2^k=λ（k-1）λ^k+λ2^k+λ^k+1+2^k+1-λ2^k=[（k+1）-1]λ^k+1+2^k+1．
这就是说，当n=k+1时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ对任何n∈N^*都成立．
解法二：由a_n+1=λa_n+λⁿ⁺¹+（2-λ）2ⁿ（n∈N*），λ＞0，可得an+1λn+1-(2λ)n+1=anλn-(2λ)n+1，
所以{anλn-(2λ)n}为等差数列，其公差为1，首项为0．故anλn-(2λ)n=n-1，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=（n-1）λⁿ+2ⁿ．
（II）设T_n=λ²+2λ³+3λ⁴++（n-2）λ^n-1+（n-1）λⁿ①
λT_n=λ³+2λ⁴+3λ⁵++（n-2）λⁿ+（n-1）λⁿ⁺¹．②
当λ≠1时，①式减去②式，得（1-λ）T_n=λ²+λ³++λⁿ-（n-1）λⁿ⁺¹=λ2-λn+11-λ-(n-1)λn+1，Tn=λ2-λn+1(1-λ)2-(n-1)λn+11-λ=(n-1)λn+2-nλn+1+λ2(1-λ)2．
这时数列{a_n}的前n项和Sn=(n-1)λn+2-nλn+1+λ2(1-λ)2+2n+1-2．
当λ=1时，Tn=n(n-1)2．这时数列{a_n}的前n项和Sn=n(n-1)2+2n+1-2．
（III）证明：通过分析，推测数列{an+1an}的第一项a2a1最大．下面证明：an+1an＜a2a1=λ2+42，n≥2．③
由λ＞0知a_n＞0．要使③式成立，只要2a_n+1＜（λ²+4）a_n（n≥2）．因为（λ²+4）a_n=（λ²+4）（n-1）λⁿ+（λ²+4）2ⁿ＞4λ．（n-1）λⁿ+4×2ⁿ=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2a_n+1，n＞2．
所以③式成立．因此，存在k=1，使得an+1an≤ak+1ak=a2a1对任意n∈N^*均成立．

解析

an+1λn+1

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=2，an+1=λ.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。