已知无穷数列{an}，首项a1=3，其前n项和为Sn，且an+1=Sn+2．若数列{an}的各项和为-83a，则a=___

题文

已知无穷数列{a_n}，首项a₁=3，其前n项和为S_n，且a_n+1=（a-1）S_n+2（a≠0，a≠1，n∈N^*）．若数列{a_n}的各项和为-83a，则a=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由a_n+1=（a-1）•S_n+2 可以知道：
a₂=3a-1，
a₃=3a²-a，
a₄=3a³-a²，
由数学归纳法可以求得：a_n+1=3aⁿ-a^n-1，
又由于a_n+1=（a-1）S_n+2，
且|a|=1时S_n都不等于（-83）a
那么：S_n=（3aⁿ-a^n-1）×1a-1，
当n趋向无穷大时：若|a|＞1，那么S_n也趋向无穷，不满足题意，
若|a|＜1，那么S_n=-2a-1，
那么有：-2a-1=-83a，
解得：a=-12．
故答案为：-12．

解析

83

考点

据考高分专家说，试题“已知无穷数列{an}，首项a1=3，其前.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。