函数f对任意x∈R都有f+f=12．求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∈N)的值；数列{an}满足an=f(0)+f

题文

函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=12．
（1）求f(12)和f(1n)+f(n-1n)(n∈N)的值；
（2）数列{a_n}满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1)，求数列{a_n}的通项公式．
（3）令b_n=44an-1，Tn=b21+b22+b23+…+b2n，Sn=32-16n试比较T_n与S_n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x=12，得f(12) =14，
令x=1n得f(1n)+f(1-1n)=12=f(1n)+f(n-1n)
（2）an=f(0)+f(1n)++f(n-1n)+f(1)
又an=f(1)+f(n-1n)++f(1n)+f(0)，
两式相加2an=[f(0)+f(1)]+[f(1n)+f(n-1n)]++[f(1)+f(0)]
=n+12，∴an=n+14．
（3）bn=44an-1=4nTn=b21+b22++b2n=16(1+122+132++1n2）
＜16[1+11×2+12×3+…+1n(n-1)]
=16[1+(1-12)+(12-13)++(1n-1-1n)]
=16(2-1n)=32-16n=Sn
∴T_n≤S_n

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。