已知数列{an}满足：an+1=an+(12)n+1(n∈N*)，且a1=1；设bn=12an-34．求数列{an}的通项公式；若cn=2n-1（n

题文

已知数列{a_n}满足：an+1=an+(12)n+1(n∈N*)，且a1=1；设bn=12an-34．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=2n-1（n∈N^*），求数列{b_n•c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵an+1=an+(12)n+1(n∈N*)，且a1=1，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+(12)2+(12)3+…+(1n)n=1+14[1-(12)n-1]1-12=32-(12)n．
又∵当n=1时，上式也成立，∴an=32-(12)n(n∈N*)．
（Ⅱ）∵bn=12an-34=12[32-(12)n]-34=-12n+1(n∈N*)，
又∵cn=2n-1(n∈N*)，
∴S_n=b₁•c₁+b₂•c₂+…+b_n•c_n
∴Sn=-(12)2-3×(12)3-5×(12)4-…-(2n-1)×(12)n+1①
∴12Sn=-(12)3-3×(12)4-…-(2n-3)×(12)n+1-(2n-1)×(12)n+2②
①-②得：12Sn=-(12)2-2×(12)3-2×(12)4-…-2×(12)n+1+(2n-1)×(12)n+2
=-14-2[(12)3+(12)4+…+(12)n+1]+(2n-1)(12)n+2=-34+2n+32n+2
∴Sn=-32+2n+32n+1．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：an+1=an+(.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。