已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=an+1an，n∈N*，求b1，b2，b3的值；设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的

题文

已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=an+1an，n∈N*，
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）设c_n=b_nb_n+1，S_n为数列{c_n}的前n项和，求证：S_n≥17n；
（Ⅲ）求证：|b2n-bn|＜164•117n-2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵a₂=4，a₃=17，a₄=72，
所以b1=4．b2=174，b3=7217
（Ⅱ）由a_n+2=4a_n+1+a_n
得an+2an+1=4+anan+1即bn+1=4+1bn
所以当n≥2时，b_n＞4
于是c₁=b₁，b₂=17，c_n=b_nb_n+1=4b_n+1＞17（n≥2）
所以S_n=c₁+c₂++c_n≥17n
（Ⅲ）当n=1时，结论|b2-b1|=14＜1764成立
当n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+1bn-4-1bn-1|=|bn-bn-1bnbn-1|≤117|bn-bn-1|≤1172|bn-1-bn-2|≤117n-1|b2-b1|＜164•117n-2(n≥2)
所以|b_2n-b_n|≤|b_n+1-b_n|+|b_n+2-b_n+1|+…+|b_2n-b_2n-1|14[(117)n-1+(117)n+(117)2n-2]=14•(117)n-1(1-117n)1-117＜164•117n-1  (n∈N*)

解析

174

考点

据考高分专家说，试题“已知a1=1，a2=4，an+2=4an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。