已知数列an=1+12+13+…+1n，记Sn=a1+a2+a3+…+an，用数学归纳法证明Sn=an-n．

题文

已知数列a_n=1+12+13+…+1n，记S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，用数学归纳法证明S_n=（n+1）a_n-n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：当n=1时，a₁=1
S₁=a₁=1满足条件
假设当n=k，（k＞1，k∈N）时S_k=（k+1）a_k-k成立
当n=k+1时，
∵a_k=1+12+13+…+1k=1+12+13+…+1k+1k+1-1k+1=ak+1-1k+1
则S_k+1=S_k+a_k+1=（k+1）a_k-k+a_k+1=（k+1）（ak+1-1k+1）-k+a_k+1
=（k+1）a_k+1-1-k+a_k+1=（k+2）a_k+1-（1+k）
从而S_n=（n+1）a_n-n成立．
得证．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an=1+12+13+…+1n，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。