已知一次函数f的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f]=-1，若点(n，an+1an)(n∈N+)在曲线C上，并有a1=1，an+1an-an

题文

已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f[f（1）]=-1，若点(n，an+1an)(n∈N+)在曲线C上，并有a₁=1，an+1an-anan-1=1(n≥2)
（1）求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=an(n+2)!，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设f（x）=kx+b（k≠0）（1分）
则f[f（1）]=k（k+b）+b=k²+kb+b=-1即k²+kb+b+1=0①（2分）
又f-1(x)=xk-bk是曲线C的解析式．
∵点(n，an+1an)在曲线C上，
∴f-1(n)-f-1(n-1)=an+1an-anan-1=1
又∵f-1(n)-f-1(n-1)=1k故1k=1，∴k=1，代入①得b=-1
∴f（x）=x-1，f^-1（x）=x+1∴曲线C的方程是x-y+1=0（5分）
（2）由（1）知当x=n时，f^-1（n）=n+1故an+1an=n+1，而a₁=1，
于是an=anan-1•an-1an-2a2a1•a1=n•(n-1)3•2•1=n!（10分）
（3）∵bn=an(n+2)!=n!(n+2)!=1(n+2)(n+1)=1n+1-1n+2
∴S_n=b₁+b₂++b_n=(12-13)+(13-14)++(1n+1-1n+2)=12-1n+2＜12（14分）

解析

xk

考点

据考高分专家说，试题“已知一次函数f（x）的图象关于直线y=x.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。