已知数列{an}中各项为：12、1122、111222、11…1个n22…2n个证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积．求这个数列前n项之和Sn

题文

已知数列{a_n}中各项为：12、1122、111222、11…1个n22…2n个
（1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积．
（2）求这个数列前n项之和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n=19（10ⁿ-1）•10ⁿ+29（10ⁿ-1）（2分）
=19（10ⁿ-1）（10ⁿ+2）=（10n-13）（10n-13+1）（4分）
记：A=10n-13，则A=33…3n个为整数
∴a_n=A（A+1），得证（6分）
（2）∵a_n=1910²ⁿ+1910ⁿ-29（8分）
S_n=19（10²+10⁴+…+10²ⁿ）+19（10+10²+…+10ⁿ）-29n
=1891（10²ⁿ⁺²）+11•10ⁿ⁺¹-198n-210（12分）

解析

19

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中各项为：12、1122.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。