已知各项都不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12anan+1(n∈N*)，a1=1．求数列{an}的通项公式；求证：1a12+1a22+

题文

已知各项都不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=12anan+1(n∈N*)，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：1a12+1a22+1a32+…+1an2＜74． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn=12anan+1，①
∴Sn-1=12an-1an(n≥2)，②
①-②得an=Sn-Sn-1=12(an+1-an-1)an
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2．
数列{a_n}的奇数项组成首项为a₁=1，公差为2的等差数列；偶数项组成首项为a₂，公差为2的等差数列．
∵a₁=1，∴a2=S112a1=2，
∴a_2n-1=1+（n-1）×2=2n-1，a_2n=2+（n-1）×2=2n．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n．（n∈N*）；
（2）证明：当n≥3时，1an2=1n2＜1(n-1)n=1(n-1)-1n，则
1a12+1a22+1a32+…+1an2=112+122+132+…+1n2＜1+14+(12-13)+(13-14)+…+1(n-1)-1n=74-1n＜74
当n=1时，1a12=1＜74；  当n=2时，1a12+1a22=54＜74；
∴1a12+1a22+1a32+…+1an2＜74．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知各项都不为零的数列{an}的前n项和.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。