设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn=2-an，数列{bn}满足bn=bn-11+bn-1，b1=2a1，求证：数列{an}是等比数列

题文

设S_n为数列{a_n}前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=2-a_n，数列{b_n}满足bn=bn-11+bn-1，b₁=2a₁，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列{1an+2bn}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分14分）
证明：（1）当n=1时，a₁=S₁=2-a₁，解得a₁=1．                                …（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，即2a_n=a_n-1．
∴anan-1=12(n≥2)．                                                   …（2分）
∴数列{a_n}是首项为1，公比为12的等比数列，即an=(12)n-1，n∈N*．     …（4分）
（2）b₁=2a₁=2．                                                           …（5分）
∵bn=bn-11+bn-1，
∴1bn=1bn-1+1，即1bn-1bn-1=1(n≥2)．                  …（6分）
∴{1bn}是首项为12，公差为1的等差数列．                                 …（7分）
∴1bn=12+(n-1)•1=2n-12，bn=22n-1…（8分）
（3）∵an+2=(12)n+1，bn=22n-1
则1an+2bn=2n(2n-1)．             …（9分）
所以Tn=22b1+23b2+24b3+…+2nbn-1+2n+1bn，…（10分）
即Tn=21×1+22×3+23×5+…+2n-1×(2n-3)+2n×(2n-1)，①…（11分）
则2Tn=22×1+23×3+24×5+…+2n×(2n-3)+2n+1×(2n-1)，②…（12分）
②-①得Tn=2n+1×(2n-1)-2-23-24-…-2n+1，…（13分）
故Tn=2n+1×(2n-1)-2-23(1-2n-1)1-2=2n+1×(2n-3)+6．                …（14分）

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“设Sn为数列{an}前n项和，对任意的n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。