如图所示的n×n的数表，满足每一行都是公差为d的等差数列，每一列都是公比为q的等比数列．已知a11=a，则a11+a22+…+ann=______．.a11a1

题文

如图所示的n×n的数表，满足每一行都是公差为d的等差数列，每一列都是公比为q的等比数列．已知a₁₁=a，则a₁₁+a₂₂+…+a_nn=______．
.a11a12…a1na21a22…a2n•        •  … ••        •  …  ••        •  …  •an1an2 … ann.． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意n×n的数表，满足每一行都是公差为d的等差数列，每一列都是公比为q的等比数列．已知a₁₁=a，
数表为.a    a+d…a +(n-1)daq   aq +d …aq+(n-1)daq2  aq2+d   …aq2+(n-1)d•        •  …••        •  …•aqn-1 aqn-1+d …aqn-1+(n-1)d.或.a    a+d…a +(n-1)daq   (a+d)q …[a+(n-1)d]qaq2 (a+d)q2 …[a +(n-1)d]q2•        •  …••        •  …•aqn-1(a+d)qn-1…[a+(n-1)d]qn-1.
所以：a_kk=[a+（k-1）d]q^k-1=aq^k-1+（k-1）dq^k-1，
又∵a_kk=aq^k-1+（k-1）d，
所以aq^k-1+（k-1）d=aq^k-1+（k-1）dq^k-1，
∴d=0或q=1．
当d=0时，a₁₁+a₂₂+…+a_nn=a+aq+aq²+…+aq^n-1=na        (q=1)a(1-q2)1-q   (q≠1)．
q=1时，a₁₁+a₂₂+…+a_nn=a+（a+d）+（a+2d）+…+[a+（n-1）d]=na+n(n-1)2d．
所以a₁₁+a₂₂+…+a_nn=na+n(n-1)2d      (q=1)a(1-q2)1-q(q≠1)．
故答案为：na+n(n-1)2d      (q=1)a(1-q2)1-q(q≠1)．

解析

.a    a+d…a +(n-1)daq   aq +d …aq+(n-1)daq2  aq2+d   …aq2+(n-1)d•        •  …••        •  …•aqn-1 aqn-1+d …aqn-1+(n-1)d.

考点

据考高分专家说，试题“如图所示的n×n的数表，满足每一行都是公.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。